ก่อนที่จะเริ่ม
บทความนี้จัดทำมาเพื่อชดใช้กรรมของตัวเองที่ไม่ได้ตั้งใจเรียนในช่วงปี 1 (555) ดังนั้นเนื้อหาภายในบทความนี้จะ assume ว่าผู้อ่านน่าจะพอมีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับแคลคูลัสมาบ้างแล้ว อย่างน้อยก็ระดับมัธยมปลาย
บทความนี้เหมาะสำหรับผู้ที่สนใจทั่วไป นักเรียน นักศึกษา หรือคนที่นอนไม่หลับเพราะคาใจว่าอนุกรมนี้ถูกเสกมาจากไหน
อนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor series)
ในทางคณิตศาตร์ อนุกรมเทย์เลอร์คือฟังก์ชันที่เขียนในรูปแบบผลรวมของอนุกรมอนันต์ โดยใช้สำหรับประมาณค่าของฟังก์ชันใด ๆ ในบริเวณจุด ๆ หนึ่ง เนื่องจากบางฟังก์ชันที่ซับซ้อนสามารถคำนวณเพื่อประมาณค่าได้ง่ายกว่าหากนำมาเขียนในรูปอนุกรมเทย์เลอร์
อนุกรมนี้สำคัญมากในการคำนวณทางคอมพิวเตอร์ เนื่องจากช่วยให้สามารถประมาณค่าของฟังก์ชันที่ซับซ้อนในขอบเขตที่กำหนดโดยใช้แค่อนุกรมเพียงไม่กี่พจน์เท่านั้น สมมุติว่าเรามีฟังก์ชันf(x) ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน หรือคำนวณค่าที่เป็นเลขสวย ๆ ได้ยาก เช่น sin(x) cos(x) หรือ e^x เราสามารถเขียนในรูปแบบอนุกรมเทย์เลอร์ได้ดังนี้
f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x − a ) 3 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots
\\~\\
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n f ( x ) = f ( a ) + 1 ! f ′ ( a ) ( x − a ) + 2 ! f ′′ ( a ) ( x − a ) 2 + 3 ! f ( 3 ) ( a ) ( x − a ) 3 + ⋯ = n = 0 ∑ ∞ n ! f ( n ) ( a ) ( x − a ) n เมื่อ a คือบริเวณจุดที่เราสนใจ และจำนวนพจน์จะมีกี่จำนวนก็ได้ขึ้นอยู่กับความแม่นยำที่เราต้องการ กล่าวคือหากเลือกค่า a เป็นตัวใดก็ตามและยิ่งกระจายหลายพจน์ จะยิ่งทำให้ f(x) เมื่อ x มีค่าใกล้ a ประมาณค่าได้แม่นยำมากขึ้น
ตัวอย่างการใช้งาน
สมมุติว่าเรามีฟังก์ชัน f(x) = sin(x) เรารู้ว่าฟังก์ชันนี้สามารถรู้ค่าได้เลยหาก x เป็นค่าที่เราคุ้นเคยเป็นอย่างดี เช่น f(π) = 0 f(π/4) = sqrt(2)/2 หรือ f(π/6) = 1/2 เป็นต้น แล้วถ้าเราอยากรู้ค่าของ f(0.5) ล่ะ?
ดังนั้นเราจะลองใช้สูตรอนุกรมเทย์เลอร์เฉพาะ 4 พจน์แรกเข้ามาช่วยประมาณค่า
เนื่องจากว่าเราสนใจค่า 0.5 ในตัวอย่างนี้จะขอเลือก a = 0 เนื่องจากง่ายต่อการคำนวณมากกว่า ดังนั้นจะสามารถเขียนเป็นรูปอนุกรมได้ดังนี้ f ( x ) = ∑ n = 0 3 f ( n ) ( 0 ) n ! x n ↓ f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 f(x)=\sum_{n=0}^{3}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \\~\\
\downarrow \\~\\
f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 f ( x ) = n = 0 ∑ 3 n ! f ( n ) ( 0 ) x n ↓ f ( x ) = f ( 0 ) + 1 ! f ′ ( 0 ) x + 2 ! f ′′ ( 0 ) x 2 + 3 ! f ( 3 ) ( 0 ) x 3 ทีนี้เราก็หาค่าและอนุพันธ์ของ f(0) ตั้งแต่ลำดับ 1 ถึง 3 (ถ้าจำวิธีไม่ได้ก็เปิดสูตรอนุพันธ์ซะ)
f ( 0 ) = sin 0 = 0 f ′ ( 0 ) = cos 0 = 1 f ′ ′ ( 0 ) = − sin 0 = 0 f ( 3 ) ( 0 ) = − cos 0 = − 1 f(0)= \sin0=0 \\
f'(0)=\cos0=1 \\
f''(0)=-\sin0=0\\
f^{(3)}(0)=-\cos0=-1 \\ f ( 0 ) = sin 0 = 0 f ′ ( 0 ) = cos 0 = 1 f ′′ ( 0 ) = − sin 0 = 0 f ( 3 ) ( 0 ) = − cos 0 = − 1 จากนั้นเราก็แทนค่าลงไปในสูตร
f ( x ) = 0 + 1 1 ! x + 0 2 ! x 2 + − 1 3 ! x 3 f(x)=0+\frac{1}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+\frac{-1}{3!}x^3 f ( x ) = 0 + 1 ! 1 x + 2 ! 0 x 2 + 3 ! − 1 x 3 ตัดพจน์ที่มี 0 ออกและจัดรูปใหม่จะกลายเป็น
f ( x ) = 0 + 1 1 ! x + 0 2 ! x 2 + − 1 3 ! x 3 f ( x ) = x − 1 3 ! x 3 f(x)=\cancel{0}+\frac{1}{1!}x+\cancel{\frac{0}{2!}x^2}+\frac{-1}{3!}x^3
\\~\\
f(x)=x-\frac{1}{3!}x^3 f ( x ) = 0 + 1 ! 1 x + 2 ! 0 x 2 + 3 ! − 1 x 3 f ( x ) = x − 3 ! 1 x 3 เมื่อแทนค่าด้วย 0.5 เราจะได้ว่า
f ( 0.5 ) = f ( 1 2 ) = 1 2 − 1 3 ! ⋅ ( 1 2 ) 3 = 1 2 − 1 6 ⋅ 1 8 = 1 2 − 1 48 = 23 48 ≈ 0.479167 f(0.5)=f\bigg(\frac{1}{2}\bigg)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3!}\cdot\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^3 \\~\\
=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{8} \\~\\
=\frac{1}{2}-\frac{1}{48} \\~\\
=\frac{23}{48}\approx0.479167 f ( 0.5 ) = f ( 2 1 ) = 2 1 − 3 ! 1 ⋅ ( 2 1 ) 3 = 2 1 − 6 1 ⋅ 8 1 = 2 1 − 48 1 = 48 23 ≈ 0.479167 เมื่อนำค่าประมาณมาเทียบกับเครื่องคิดเลข จะเห็นว่าค่าที่เราหาได้นั้นถือว่ามีความแม่นยำแทบจะ 100% เลย
f(x) = sin(x) (เส้นสีดำ) และ p(x) = x - 1/3! * x^3 (เส้นสีเหลือง)
จะเห็นได้ว่าอนุกรมเทย์เลอร์เป็นเหมือนฟังก์ชันที่พยายามเลียนแบบฟังก์ชันจริง เพื่อใช้ประมาณค่าและคำนวณได้ง่ายกว่า ในบริเวณที่ x = 0 (รอบจุด a = 0)
หลักการที่แท้จริงของอนุกรมเทย์เลอร์
ก่อนอื่นเราจะต้องเข้าใจทฤษฎีบทเบื้องต้นเสียก่อน จึงจะทำให้บรรลุแนวคิดของอนุกรมเทย์เลอร์ นั่นคือ
ทุกฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องใด ๆ ซึ่ง x เป็นจำนวนจริงที่อยู่ในช่วงปิด [a, b] ไม่ว่าฟังก์ชันจะซับซ้อนแค่ไหน เราสามารถหาพหุนาม p(x) ที่ทำให้ |f(x)-p(x)| < ε ได้เสมอ
อธิบายเป็นภาษาง่าย ๆ ก็คือ ทุกฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง เราสามารถใช้พหุนาม (a+bx+cx^2+...) ในการประมาณค่าของฟังก์ชันในช่วงที่กำหนดได้ และสามารถทำให้มีค่าคลาดเคลื่อน (ε) ต่ำเท่าที่ต้องการได้
อนุกรมเทย์เลอร์มาจากการสร้างพหุนาม p(x) ที่พยายามเลียนแบบฟังก์ชัน f(x) ให้เท่ากันที่จุด x = a รวมถึงอนุพันธ์ทุกลำดับด้วย ทีนี้เรามาลองดูวิธีแบบ step by step กันดีกว่าp(x) ดีกรี 4 เพื่อเลียนแบบฟังก์ชัน f(x) = e^x ที่จุด x = a โดยกำหนดให้ a = 0
พนุนามดีกรี 4 จะเขียนในรูปต่อไปนี้
p ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 p(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4 p ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 หน้าที่ของเราก็คือการหาค่าสัมประสิทธิ์ c0 ถึง c4 ที่ทำให้ p(0) มีค่าเท่ากับ f(0)
โดยขั้นแรกเราจะตั้งสมการโดยกำหนดให้ค่าของทั้งสองฟังก์ชันเท่ากันก่อน
p ( 0 ) = f ( 0 ) c 0 + c 1 ( 0 ) + c 2 ( 0 ) 2 + c 3 ( 0 ) 3 + c 4 ( 0 ) 4 = e 0 c 0 + c 1 ( 0 ) + c 2 ( 0 ) 2 + c 3 ( 0 ) 3 + c 4 ( 0 ) 4 = e 0 c 0 = 1 ↓ p ( x ) = 1 p(0)=f(0) \\~\\
c_0+c_1(0)+c_2(0)^2+c_3(0)^3+c_4(0)^4 = e^0 \\~\\
c_0+\cancel{c_1(0)}+\cancel{c_2(0)^2}+\cancel{c_3(0)^3}+\cancel{c_4(0)^4} = e^0 \\~\\
c_0 = 1 \\~\\
\downarrow \\~\\
p(x)=1 p ( 0 ) = f ( 0 ) c 0 + c 1 ( 0 ) + c 2 ( 0 ) 2 + c 3 ( 0 ) 3 + c 4 ( 0 ) 4 = e 0 c 0 + c 1 ( 0 ) + c 2 ( 0 ) 2 + c 3 ( 0 ) 3 + c 4 ( 0 ) 4 = e 0 c 0 = 1 ↓ p ( x ) = 1 f(x) = e^x (เส้นสีดำ) และ p(x) = 1 (เส้นสีเหลือง)
จากการแก้สมการจะทำให้ได้ค่า c0 มาเนื่องจาก x = 0 ทำให้ c1 ถึง c4 หายไปหมด จึงเหลือ c0 ซึ่งเป็นค่าคงที่
แต่ทีนี้ p(x) ยังมีความแม่นยำเพียงจุดเดียว ดังนั้นเราจะหาค่าสัมประสิทธิ์ตัวต่อไปกัน
แนวคิดก็คือนอกจากค่าของฟังก์ชัน p(0) ต้องเท่ากับ f(0) แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงหรืออนุพันธ์ของทั้งสองฟังก์ชัน ที่ a = 0 ก็ควรจะเท่ากันด้วย ดังนั้นเราจะหาอนุพันธ์ทั้งสองข้างแล้วมาลองแก้สมการดูกัน
p ′ ( x ) = c 1 + 2 ⋅ c 2 x + 3 ⋅ c 3 x 2 + 4 ⋅ c 4 x 3 f ′ ( x ) = e x p ′ ( 0 ) = f ′ ( 0 ) c 1 + 2 ⋅ c 2 ( 0 ) + 3 ⋅ c 3 ( 0 ) 2 + 4 ⋅ c 4 ( 0 ) 3 = e 0 c 1 + 2 ⋅ c 2 ( 0 ) + 3 ⋅ c 3 ( 0 ) 2 + 4 ⋅ c 4 ( 0 ) 3 = e 0 c 1 = 1 ↓ p ( x ) = 1 + x p'(x)=c_1+2\cdot c_2x+3\cdot c_3x^2+4\cdot c_4x^3 \\~\\
f'(x)=e^x \\~\\
p'(0)=f'(0) \\~\\
c_1+2\cdot c_2(0)+3\cdot c_3(0)^2+4\cdot c_4(0)^3 = e^0 \\~\\
c_1+\cancel{2\cdot c_2(0)}+\cancel{3\cdot c_3(0)^2}+\cancel{4\cdot c_4(0)^3} = e^0 \\~\\
c_1 = 1 \\~\\
\downarrow \\~\\
p(x)=1+x p ′ ( x ) = c 1 + 2 ⋅ c 2 x + 3 ⋅ c 3 x 2 + 4 ⋅ c 4 x 3 f ′ ( x ) = e x p ′ ( 0 ) = f ′ ( 0 ) c 1 + 2 ⋅ c 2 ( 0 ) + 3 ⋅ c 3 ( 0 ) 2 + 4 ⋅ c 4 ( 0 ) 3 = e 0 c 1 + 2 ⋅ c 2 ( 0 ) + 3 ⋅ c 3 ( 0 ) 2 + 4 ⋅ c 4 ( 0 ) 3 = e 0 c 1 = 1 ↓ p ( x ) = 1 + x f(x) = e^x (เส้นสีดำ) และ p(x) = 1 + x (เส้นสีเหลือง)
ทีนี้ก็จะได้ค่า c1 ไปแทนที่ในพหุนามได้แล้ว จะทำให้อนุพันธ์ของ p(0) มีค่าเท่ากับอนุพันธ์ของ f(0) ยิ่งทำให้อนุพันธ์ลำดับสูง ๆ ของสองฟังก์ชันนี้เท่ากัน พหุนาม p(x) จะยิ่งมีหน้าตาใกล้เคียงกับ f(x) มากขึ้น ในการหาค่าสัมประสิทธิ์ต่อไปก็จะใช้วิธีเดียวกันแบบนี้ไปเรื่อย ๆ
p ′ ′ ( x ) = 2 ⋅ c 2 + 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 x + 4 ⋅ 3 ⋅ c 4 x 2 f ′ ′ ( x ) = e x p ′ ′ ( 0 ) = f ′ ′ ( 0 ) 2 ⋅ c 2 + 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 ( 0 ) + 4 ⋅ 3 ⋅ c 4 ( 0 ) 2 = e 0 2 ⋅ c 2 + 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 ( 0 ) + 4 ⋅ 3 ⋅ c 4 ( 0 ) 2 = e 0 2 ⋅ c 2 = 1 c 2 = 1 2 ↓ p ( x ) = 1 + x + 1 2 x 2 p''(x)=2\cdot c_2+3\cdot2\cdot c_3x+4\cdot3\cdot c_4x^2 \\~\\
f''(x)=e^x \\~\\
p''(0)=f''(0) \\~\\
2\cdot c_2+3\cdot2\cdot c_3(0)+4\cdot3\cdot c_4(0)^2 = e^0 \\~\\
2\cdot c_2+\cancel{3\cdot2\cdot c_3(0)}+\cancel{4\cdot3\cdot c_4(0)^2} = e^0 \\~\\
2\cdot c_2 = 1 \\~\\
c_2 = \frac{1}{2} \\~\\
\downarrow \\~\\
p(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2 p ′′ ( x ) = 2 ⋅ c 2 + 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 x + 4 ⋅ 3 ⋅ c 4 x 2 f ′′ ( x ) = e x p ′′ ( 0 ) = f ′′ ( 0 ) 2 ⋅ c 2 + 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 ( 0 ) + 4 ⋅ 3 ⋅ c 4 ( 0 ) 2 = e 0 2 ⋅ c 2 + 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 ( 0 ) + 4 ⋅ 3 ⋅ c 4 ( 0 ) 2 = e 0 2 ⋅ c 2 = 1 c 2 = 2 1 ↓ p ( x ) = 1 + x + 2 1 x 2 f(x) = e^x (เส้นสีดำ) และ p(x) = 1 + x + (1/2) * x^2 (เส้นสีเหลือง)
หาค่า c3 ด้วยอนุพันธ์ลำดับที่ 3
p ( 3 ) ( x ) = 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ c 4 x f ( 3 ) ( x ) = e x p ( 3 ) ( 0 ) = f ( 3 ) ( 0 ) 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ c 4 ( 0 ) = e 0 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ c 4 ( 0 ) = e 0 6 ⋅ c 3 = 1 c 3 = 1 6 ↓ p ( x ) = 1 + x + 1 2 x 2 + 1 6 x 3 p^{(3)}(x)=3\cdot2\cdot c_3+4\cdot3\cdot2\cdot c_4x \\~\\
f^{(3)}(x)=e^x \\~\\
p^{(3)}(0)=f^{(3)}(0) \\~\\
3\cdot2\cdot c_3+4\cdot3\cdot2\cdot c_4(0) = e^0 \\~\\
3\cdot2\cdot c_3+\cancel{4\cdot3\cdot2\cdot c_4(0)} = e^0 \\~\\
6\cdot c_3 = 1 \\~\\
c_3 = \frac{1}{6} \\~\\
\downarrow \\~\\
p(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3 p ( 3 ) ( x ) = 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ c 4 x f ( 3 ) ( x ) = e x p ( 3 ) ( 0 ) = f ( 3 ) ( 0 ) 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ c 4 ( 0 ) = e 0 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ c 4 ( 0 ) = e 0 6 ⋅ c 3 = 1 c 3 = 6 1 ↓ p ( x ) = 1 + x + 2 1 x 2 + 6 1 x 3 f(x) = e^x (เส้นสีดำ) และ p(x) = 1 + x + (1/2) * x^2 + (1/6) * x^3 (เส้นสีเหลือง)
สุดท้าย หาค่า c4 ด้วยอนุพันธ์ลำดับที่ 4
p ( 4 ) ( x ) = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ c 4 f ( 4 ) ( x ) = e x p ( 4 ) ( 0 ) = f ( 4 ) ( 0 ) 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ c 4 = e 0 24 ⋅ c 4 = 1 c 4 = 1 24 ↓ p ( x ) = 1 + x + 1 2 x 2 + 1 6 x 3 + 1 24 x 4 p^{(4)}(x)=4\cdot3\cdot2\cdot c_4 \\~\\
f^{(4)}(x)=e^x \\~\\
p^{(4)}(0)=f^{(4)}(0) \\~\\
4\cdot3\cdot2\cdot c_4= e^0 \\~\\
24\cdot c_4 = 1 \\~\\
c_4 = \frac{1}{24} \\~\\
\downarrow \\~\\
p(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4 p ( 4 ) ( x ) = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ c 4 f ( 4 ) ( x ) = e x p ( 4 ) ( 0 ) = f ( 4 ) ( 0 ) 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ c 4 = e 0 24 ⋅ c 4 = 1 c 4 = 24 1 ↓ p ( x ) = 1 + x + 2 1 x 2 + 6 1 x 3 + 24 1 x 4 f(x) = e^x (เส้นสีดำ) และ p(x) = 1 + x + (1/2) * x^2 + (1/6) * x^3 + (1/24) * x^4 (เส้นสีเหลือง)
ที่นี้เราก็สามารถสร้างพหุนามดีกรี 4 สำหรับเลียนแบบ f(x) = e^x ได้แม่นยำระดับนึงแล้ว
ลองสังเกตว่าเวลาหาอนุพันธ์ลำดับต่าง ๆ จะทำให้พจน์ก่อนหน้าหายไปเนื่องจากการอนุพันธ์ และจะทำให้พจน์ที่มีดีกรีสูงกว่าหายไปด้วยเนื่องจากกำหนดให้ x = 0
ตัวอย่างเช่น ต้องการหาอนุพันธ์ลำดับที่ 3 จะเป็นดังนี้
p ( x ) = c 0 + c 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 + ⋯ + c n x n p ( 3 ) ( x ) = 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ c 4 x + 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ c 4 x 2 + ⋯ p ( 3 ) ( 0 ) = 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ c 4 ( 0 ) + 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ c 4 ( 0 ) 2 + ⋯ p ( 3 ) ( 0 ) = 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 p(x)=c_0+c_1+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4+c_5x^5+\cdots+c_nx^n \\~\\
p^{(3)}(x)=3\cdot2\cdot c_3+4\cdot3\cdot2\cdot c_4x+5\cdot4\cdot3\cdot c_4x^2+\cdots \\~\\
p^{(3)}(0)=3\cdot2\cdot c_3+\cancel{4\cdot3\cdot2\cdot c_4(0)}+\cancel{5\cdot4\cdot3\cdot c_4(0)^2}+\cancel{\cdots} \\~\\
p^{(3)}(0)=3\cdot2\cdot c_3 p ( x ) = c 0 + c 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 + ⋯ + c n x n p ( 3 ) ( x ) = 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ c 4 x + 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ c 4 x 2 + ⋯ p ( 3 ) ( 0 ) = 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ c 4 ( 0 ) + 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ c 4 ( 0 ) 2 + ⋯ p ( 3 ) ( 0 ) = 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 ทีนี้ลองมาเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปดู
p ( 3 ) ( 0 ) = 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 p ( 3 ) ( 0 ) = 3 ! ⋅ c 3 p ( n ) ( 0 ) = n ! ⋅ c n p^{(3)}(0)=3\cdot2\cdot c_3 \\~\\
p^{(3)}(0)=3!\cdot c_3 \\~\\
p^{(n)}(0)=n!\cdot c_n p ( 3 ) ( 0 ) = 3 ⋅ 2 ⋅ c 3 p ( 3 ) ( 0 ) = 3 ! ⋅ c 3 p ( n ) ( 0 ) = n ! ⋅ c n และเนื่องจาก p(0) = f(0) สำหรับอนุพันธ์ทุกลำดับ
p ( n ) ( 0 ) = n ! ⋅ c n = f ( n ) ( 0 ) n ! ⋅ c n = f ( n ) ( 0 ) c n = f ( n ) ( 0 ) n ! p^{(n)}(0)=n!\cdot c_n=f^{(n)}(0) \\~\\
n!\cdot c_n=f^{(n)}(0) \\~\\
c_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} p ( n ) ( 0 ) = n ! ⋅ c n = f ( n ) ( 0 ) n ! ⋅ c n = f ( n ) ( 0 ) c n = n ! f ( n ) ( 0 ) ทีนี้เราก็จะได้ค่า c_n สำหรับทุกพจน์ในพหุนามแล้ว
p ( x ) = c 0 + c 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 + ⋯ + c n x n p ( x ) = f ( 0 ) 0 ! + f ′ ( 0 ) 1 ! + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ + f ( n ) ( 0 ) n ! x n p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n p(x)=c_0+c_1+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4+c_5x^5+\cdots+c_nx^n \\~\\
p(x)=\frac{f(0)}{0!}+\frac{f'(0)}{1!}+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \\~\\
p(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n p ( x ) = c 0 + c 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 + ⋯ + c n x n p ( x ) = 0 ! f ( 0 ) + 1 ! f ′ ( 0 ) + 2 ! f ′′ ( 0 ) x 2 + 3 ! f ( 3 ) ( 0 ) x 3 + ⋯ + n ! f ( n ) ( 0 ) x n p ( x ) = n = 0 ∑ ∞ n ! f ( n ) ( 0 ) x n อันที่จริงการที่พิจารณารอบจุด a = 0 เรียกว่า อนุกรมแมคลอรีน เป็นการประยุกต์มาจากสูตรทั่วไปของอนุกรมเทย์เลอร์อีกทีa ก็เพียงพิจารณาฟังก์ชันในจุด a และสร้างพหุนามโดยที่ให้ x - a ก็จะกลายเป็นสูตรอนุกรมเทย์เลอร์ทั่วไปที่เรารู้จักกันนั่นเอง
p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n p(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n p ( x ) = n = 0 ∑ ∞ n ! f ( n ) ( a ) ( x − a ) n
สรุป
แนวคิดหลักของอนุกรมเทย์เลอร์ คือการสร้างพหุนามเพื่อเลียนแบบฟังก์ชันใด ๆ รอบจุด a โดยพยายามทำให้ความโค้งหรืออัตราการเปลี่ยนแปลงใกล้เคียงกับฟังก์ชันจริงมากที่สุด และเมื่อฟังก์ชันมีวิธีคำนวณที่ซับซ้อน การประมาณค่าในรูปแบบพหุนามที่เราสร้างนั้นอาจจะง่ายกว่า อนุกรมเทย์เลอร์ยังสามารถนำไปประยุกต์ได้หลายสาขา เช่น ฟิสิกส์ วิศวกรรม รวมไปถึง AI อีกด้วย โดยทั้งหมดที่กล่าวมานั้นเป็นเพียงแค่หลักการเบื้องต้นเท่านั้น บางฟังก์ชันอาจจะไม่สามารถประมาณค่าได้มากกว่านี้หากจำนวนพจน์สูงขึ้น แต่สำหรับบทความนี้ก็น่าจะเพียงพอที่จะให้ผู้อ่านเข้าใจแนวคิดเบื้องต้นของอนุกรมเทย์เลอร์แล้ว หวังว่าจะช่วยให้ผู้อ่านเข้าใจที่มาที่ไปอยู่บ้าง ไม่มากก็น้อย :D
